Применение математического анализа в теории вероятности. Войти забыли пароль? Со страниц истории

Неволина Екатерина Николаевна Екатеринбург УрГЭУ Руководитель – Кныш А. А. Практическое применение теории вероятностей. Актуальность. Теория вероятностей является одним из разделов математики, изучающим случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы теории вероятностей все шире находят свое применение в различных областях науки и техники, а также в обычной жизни. Особенность данного раздела науки заключается в рассмотрении таких явлений, в которых присутствует неопределенность. В статье мне бы хотелось рассмотреть примеры некоторых задач, демонстрирующих практическое применение теории вероятностей. Задачи с экономическим содержанием. 1. Одна из фирм собирается заключить контракт на поставку товара с сетью магазинов. При условии, что конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, вероятность заключения контракта оценивается в 0,85, В противном случае вероятность получения контракта составляет 0,6. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,55. Чему равна вероятность заключения контракта для этой фирмы? . Данная задача решается с помощью формулы полной вероятности. 2. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,2; 0,7 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,65, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,35, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме? . Задача решается с помощью формулы Байеса. 3. Банк выдаёт 9 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого заёмщика. Какова вероятность того, что трое заёмщиков не выплатят кредит? Задача решается с помощью формулы Бернулли. 5. Деталь считается годной при отклонении Х линейного размера в абсолютном выражении меньше 1 мм. Отклонение Х является величиной, распределенной по нормальному закону, со среднем квадратическим отклонением   0.35 . Найти количество бракованных деталей в одной партии произведенных деталей (размер партии 1000 шт.), стоимость потерь от брака при себестоимости партии 15 млн. руб., доход от реализации оставшихся годных деталей и экономические потери при рыночной цене 19 000 руб. за единицу продукции . Рассмотрим решение данной задачи. Т.к. Х – отклонение линейного размера в абсолютном выражении, то математическое ожидание М(Х)=а=0. Подставив в формулу  P  X     2      значения    0.35 и   1, получим P X  1  0,9956. Таким образом, в партии из 1000 деталей годными будут 995 деталей. При себестоимости партии 15 млн. руб. себестоимость каждой детали составит в среднем 15 000 руб. Стоимость потерь от брака составят 75000 рублей. Доход от реализации годных деталей по рыночной цене составит 995∙19000 =18,905 млн. руб. В связи с невозможностью реализовать часть продукции экономические потери составят 5∙19000=95000 руб. Методы теории вероятностей также используются в ставках на спорт. С помощью теории вероятностей стало возможным предугадывать и оценивать исходы различных матчей, а также выявлять продуктивность отдельно взятого игрока. Так, например, если мы рассматриваем баскетбол, то в качестве продуктивности игрока можно рассматривать вероятность его попадания в кольцо с различных точек. Приведем примеры задач. 1. На соревнованиях по баскетболу центровой игрок команды «N» бросает мяч в кольцо. За каждый забитый мяч команда получает 2 очка. Найти вероятность того, что за данный бросок центровым команда не получит ни одного очка (0 очков полагается лишь за промах). 2. Две равносильные баскетбольные команды играют в баскетбол. Что вероятнее: вести счет одну четверть из двух или две четверти из четырех (равный счет во внимание не принимается)? Данная задача решается с помощью формулы Бернулли. Итак, нахождение закономерностей в случайных явлениях - это задача теорий вероятности. Теория вероятности - это инструмент для изучения не видимых и многозначных взаимосвязей разных явлений во многочисленных областях науки, техники и экономики. Теория вероятности дает возможность правильно посчитать колебания спроса, предложения, цен и других экономических показателей. Теория вероятности есть часть базовой науки как статистика и прикладная информатика. Так как без теории вероятностей не может работать не одна прикладная программа, и компьютер в целом. И в теории игр она тоже является основной . Список использованных источников: 1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей [Электрон. ресурс] : Учеб. пособие. – Москва. – Высшая школа, 1999. – 576 c. – Режим доступа: http://sernam.ru/book_tp.php 2. Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине «Математика» [Электрон. ресурс]. – Мончегорск, 2013. – Режим доступа: http://www.studfiles.ru/preview/3829108/ 3. Хуснутдинов, Р. Ш. Математика для экономистов в примерах и задачах [Электрон. ресурс] : учеб. пособие / Р. Ш. Хуснутдинов, В. А. Жихарев. – Санкт-Петербург: Лань, 2012. - 656 с. - Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/4233

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Возникновение и развитие теории вероятностей и ее приложений. Решение классических парадоксов игры в кости и "азартных игр". Парадокс закона больших чисел Бернулли и Бертрана, дня рождения и раздачи подарков. Изучение парадоксов из книги Г. Секея.

контрольная работа , добавлен 29.05.2016


Сущность и предмет теории вероятностей, отражающей закономерности, присущие случайным явлениям массового характера. Изучение ею закономерностей массовых однородных случайных явлений. Описание наиболее популярных в теории вероятностей экспериментов.

презентация , добавлен 17.08.2015


Сущность понятия "комбинаторика". Историческая справка из истории развития науки. Правило суммы и произведения, размещения и перестановки. Общий вид формулы для вычисления числа сочетаний с повторениями. Пример решения задач по теории вероятностей.

контрольная работа , добавлен 30.01.2014


Теория вероятности как математическая наука, изучающая закономерность в массовых однородных случаях, явлениях и процессах, предмет, основные понятия и элементарные события. Определение вероятности события. Анализ основных теорем теории вероятностей.

шпаргалка , добавлен 24.12.2010


Возникновение теории вероятностей как науки, вклад зарубежных ученых и Петербургской математической школы в ее развитие. Понятие статистической вероятности события, вычисление наивероятнейшего числа появлений события. Сущность локальной теоремы Лапласа.

презентация , добавлен 19.07.2015


Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.

контрольная работа , добавлен 03.12.2010


Преимущество использования формулы Бернулли, ее место в теории вероятностей и применение в независимых испытаниях. Исторический очерк жизни и деятельности швейцарского математика Якоба Бернулли, его достижения в области дифференциального исчисления.

презентация , добавлен 11.12.2012


Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья в области решения первичных задач теории вероятностей. Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей. Работа Х. Гюйгенса. Первые исследования по демографии. Формирование понятия геометрической вероятности.

курсовая работа , добавлен 24.11.2010

Математика — царица всех наук, часто ставится под суд молодыми людьми. Выдвигаем тезис «Математика — бесполезна». И опровергаем на примере одной из самых интересных загадочных и интересных теорий. Как теория вероятности помогает в жизни , спасает мир, какие технологии и достижения основываются на этих, казалось бы, нематериальных и далеких от жизни формул и сложных вычислений.

История теории вероятности

Теория вероятности — область математики, изучающая случайные события, и, естественно, их вероятность. Зародилась такого рода математика вовсе не в скучных серых кабинетах, а… игральных залах. Первые подходы к оценке вероятности того или иного события были популярны еще в Средневековье среди «гамлеров» того времени. Однако тогда они имели лишь эмпирическое исследование (то есть оценка на практике, методом эксперимента). Нельзя причислить авторство теории вероятности определенному человеку, так как работали над ней множество знаменитых людей, каждый из которых вложил свою толику.

Первыми из таких людей стали Паскаль и Ферма. Они изучали теорию вероятности на статистике игры в кости. Она открыли первейшие закономерности. Х. Гюйгенс проделал схожую работу на 20 лет раньше, но теоремы не были сформулированы точно. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли, Лаплас, Пуасон и многие другие.

Пьер Ферма

Теория вероятности в жизни

Я вас удивлю: мы все в той или иной мере используем теорию вероятности, на основе анализе произошедших в нашей жизни событий. Мы знаем, что смерть во время автомобильной аварии боле вероятна, чем от удара молнии, потому что первое, к сожалению, происходит очень часто. Так или иначе мы обращаем на вероятность вещей внимание, чтобы спрогнозировать свое поведение. Но вот обида, к сожалению, не всегда человек может точно определить вероятность тех или иных событий.

Например, не зная статистики, большинство людей склонны думать, что шанс погибнуть в авиакатастрофе больше, чем в автомобильной аварии. Теперь же мы знаем, изучив факты (о которых, думаю, многие наслышаны), что это совсем не так. Дело в том, что наш жизненный «глазомер» иногда дает сбой, потому что авиатранспорт кажется значительно страшнее людям, привыкшим твердо ходить по земле. Да и большинство людей не так часто используют этот вид транспорта. Даже если мы и может оценить вероятность события верно, то, скорее всего, крайне неточно, что не будет иметь никакого смысла, скажем, в космической инженерии, где миллионные доли решают многое. А когда нам нужна точность, то мы обращаемся к кому? Конечно же, к математике.

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах или знаменитейшем рынке Forex дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны — все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных.

Мне посчастливилось попасть на математическую научную конференцию моего города, где одна из работ-победительниц говорила о практической значимости теории вероятности в жизни . Вам наверняка, как и всем людям, не нравится стоять подолгу в очередях. Данная работа доказывала, как может ускориться процесс покупки, если использовать теорию вероятности расчета людей в очереди и регулирование деятельности (открытие касс, увеличение продавцов и т.п.). К сожалению, сейчас большинство даже крупных сетей игнорирует этот факт и полагается лишь на собственные наглядные расчеты.

Любую деятельность любой сферы можно проанализировать, использую статистику, рассчитать благодаря теории вероятности и заметно улучшить.

Определение. Теория вероятностей – это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Определение. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном испытании протекает каждый раз по-разному.

Определение. Опыт – деятельность человека или процесс, испытания.

Определение. Событие – результат опыта.

Определение. Предметом теории вероятностей являются случайные явления и специфические закономерности массовых случайных явлений.

Классификация событий:

1. Событие называется достоверным , если в результате опыта оно обязательно произойдет.

Пример. Школьный урок обязательно закончится.

1. Событие называется невозможным , если при заданных условиях оно никогда не произойдет.

Пример. Если в цепи нет электрического тока, лампа не загорится.

1. Событие называется случайным или невозможным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Пример. Событие – сдать экзамен.

1. Событие называется равновозможным , если условия появления одинаковые и нет основания утверждать, что в результате опыта одно из них имеет шанс появиться больше, чем другое.

Пример. Выпадение герба или решки при броске монеты.

1. События называются совместными , если появление одного из них не исключает возможностей появления другого.

Пример. При выстреле, промах и перелет – события совместные.

1. Событие называется несовместным , если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример. При одном выстреле попадание и промах – события не совместные.

1. Два несовместных события называются противоположными , если в результате опыта одно из них обязательно произойдет.

Пример. При сдаче экзамена, события «сдал экзамен» и «не сдал экзамен», называются противоположными.

Обозначение: - нормальное событие, - противоположное событие.

1. Несколько событий образуют полную группу несовместных событий , если в результате опыта наступит только одно из них.

Пример. При сдаче экзамена возможно: «не сдал экзамен», «сдал на «3»», «сдал на «4»», - полная группа несовместных событий.

Правила суммы и произведения.

Определение. Суммой двух произведений a и b называют событие c , которое состоит в появлении события a или события b или обоих одновременно.

Сумму событий называют объединением событий (появление хотя бы одного из событий).

Если в задаче по смыслу очевидно, что должно появиться a ИЛИ b , то говорят, что находят сумму.

Определение. Произведением событий a и b называют событие c , которое состоит в одновременном появлении событий a и b .

Произведением называют пересечение двух событий.

Если в задаче говорят, что находят a И b , значит находят произведение.

Пример. При двух выстрелах:

1. если необходимо найти попадание хотя бы один раз, то находят сумму.
2. если необходимо найти попадание два раза, то находят произведение.

Вероятность. Свойство вероятности.

Определение. Частотой некоторого события называют число равное отношению числа опытов, в котором событие появилось к числу всех произведенных опытов.

Обозначение: r() – частота события .

Пример. Подбрасывая монету 15 раз, и при этом герб выпадет 10 раз, тогда частота появления герба: r()=.

Определение. При бесконечно большом количестве опытов, частота события становится равна вероятности события.

Определение классической вероятности . Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих появлению этого события случаев к числу всех единственно возможных и равновозможных случаев.

Обозначение: , где P – вероятность,

m – число случаев благоприятствующих появлению события .

n – общее число единственно возможных и равновозможных случаев.

Пример . В соревнованиях по бегу принимают участие 60 студентов ЧИЭПа. Каждый имеет номер. Найти вероятность того, что номер студента, выигравшего забег не содержит цифры 5.

Свойства вероятности:

1. значение вероятности не отрицательное и заключено между значениями 0 и 1.
2. вероятность равна 0, тогда и только тогда, когда это вероятность невозможного события.
3. вероятность равна 1, тогда и только тогда, когда это вероятность достоверного события.
4. вероятность одного и того же события неизменно, не зависит от количества проведенных опытов и меняется только тогда, когда изменятся условия проведения опыта.

Определение геометрической вероятности . Геометрической вероятностью называют отношение части области, попадание в которой выбранной точки необходимо найти во всей области, попадание в которой в данной точке равновозможно.

Область может быть мерой площади длины или объема.

Пример. Найти вероятность попадания некоторой точки на участок длиной 10 км, если необходимо, чтобы она попала вблизи концов отрезка, не далее, чем на 1 км от каждого.

Замечание.

Если меры области s и S имеют разные единицы измерения по условию задачи, то для решения необходимо s и S придать единую размерность.

Соединение. Элементы комбинаторики.

Определение. Объединения элементов различных групп, отличающиеся порядком элементов или хотя бы одним элементом называют соединениями.

Соединения бывают:

Размещение

Сочетание

Перестановки

Определение. Размещениями из n – элементов по m раз, называют соединение, отличающееся друг от друга, хотя бы одним элементом и порядком расположения элементов.

Определение. Сочетаниями из n элементов по m, называется соединение, состоящее из одних и тех же элементов, отличающиеся хотя бы одним элементом.

Определение. Перестановками из n элементов, называют соединения, состоящие из одних и тех же элементов, отличающееся друг от друга только порядком расположения элементов.

Пример.

1) сколькими способами можно составить автоколонну из 5 автомобилей.

2) сколькими способами можно назначить в классе 3х дежурных, если всего человек в классе 25.

Так как порядок элементов не важен и группы соединений отличаются количеством элементов, то вычислим число сочетаний из 25 элементов по 3.

способов.

3) Сколькими способами из цифр 1,2,3,4,5,6 можно составить 4х значное число. Следовательно, т.к. соединения отличаются порядком расположения и хотя бы одним элементом, то вычислим размещение из 6 элементов по 4.

Пример на использование элементов комбинаторики, на вычисление вероятности.

В партии из n изделий – m – бракованных. Произвольным образом выбираем l-изделий. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно k – браков.

Пример.

В магазин на склад привезли 10 холодильников из них 4- 3хкамерных, остальные – 2хкамерные.

Найти вероятность того, что среди выбранных произвольным образом 5 холмов – 3 будут 3хкамекрными.

Основные теоремы теории вероятностей.

Теорема 1.

Вероятность суммы 2х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие.

1) если событие образует полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

2) сумма вероятностей 2х противоположных событий равна 1.

Теорема 2.

Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению их вероятностей.

Определение. Событие A называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произойдет событие В или нет.

Определение. 2 события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от появления или не появления второго.

Определение. Вероятность события В вычисленное при условии, что событие А имело место, называют условной вероятностью.

Теорема 3.

Вероятность произведения 2х независимых событий равна вероятности появления одного события на условную вероятность второго при том, что первое событие произошло.

Пример.

В библиотеке имеется 12 учебников по математике. Из них, 2 учебника по элементарной математике, 5 – по теории вероятностей, остальные – по высшей математике. Выбираем произвольным образом 2 учебника. Найти вероятность того, что они оба поп элементарной математике.

Теорема 4. Вероятность появления события хотя бы 1 раз.

Вероятность появления хотя бы одного из событий, образующих полную группу несовместных событий равно разности между первым и произведением вероятностей противоположных данным событий.

Пусть тогда

Следствие.

Если вероятность появления каждого из события , одинакова и равна p, тогда вероятность того, что появится хотя бы одно из данных событий, равно

N – количество произведенных опытов.

Пример.

Производят 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле 0,7 , при втором – 0,8 , при третьем – 0,9. найти вероятность того, что при трех независимых выстрелах в мишень будет:

А) 0 попаданий;

Б) 1 попадание;

В) 2 попадания;

Г) 3 попадания;

Д) хотя бы одно попадание.

Теорема 5. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может появиться совместно с одной из гипотез , тогда вероятность того, что событие А произошло, находят по формуле:

и . Приводим к общему знаменателю.

Т.о. выиграть одну партию из 2х у равносильного противника вероятнее, чем выиграть 2 партии из 4х.